Родился 19 мая 1923 года в селе Засосна ныне Красногвардейского района Белгородской области в семье крестьянина. Окончил среднюю школу. В Красной Армии с 1941 года. В том же году окончил Майкопское военное танковое училище. На фронте с 1942 года.

Осенью 1943 года 39-я танковая бригада 23-го танкового корпуса Юго-Западного фронта с боями подошла к Запорожью. На подступах к городу противник построил мощные оборонительные рубежи. Чтобы раскрыть огневую систему вражеской обороны, командиру танкового взвода лейтенанту Яценко было поручено провести разведку боем. На следующее утро 14 октября 1943 года наши войска начали наступление. В нём участвовал и взвод лейтенанта Яценко с десантом автоматчиков, который одним из первых ворвался в город. Сведения, полученные накануне, дали возможность командованию бригады обеспечить в ходе боя успешное подавление огневых средств врага.

Дважды раненный, лейтенант Яценко продолжал атаковать превосходящего по численности противника. Вражеский снаряд прожёг броню машины. Вспыхнуло пламя, дым стал есть глаза. Яценко приказал товарищам покинуть танк, а сам, оставшись в горящей машине один, продолжал вести огонь по врагу. Внезапно сильный взрыв сотряс землю: это взорвался танк. Он похоронил под своими обломками бесстрашного воина. К исходу 14 октября 1943 года наши части полностью очистили город Запорожье от гитлеровцев. В этих боях экипажем танка лейтенанта Яценко было уничтожено 4 танка и самоходных установок, 6 орудий и миномётов, 7 пулемётов, 7 автомашин, 10 огневых точек и свыше 100 фашистских солдат и офицеров.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, лейтенанту Яценко Николаю Лаврентьевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Похоронен на военном участке Капустяного кладбища в Запорожье (Украина). Приказом Министра Обороны СССР от 27 мая 1958 года навечно зачислен в списки танкового полка.

На родине установлен бюст Героя. Его именем названа школа и улица в селе в Засосна Красногвардейского района Белгородской области.